PROPOSICIONES

Una proposición lógica es Expresión enunciativa a la que puede atribuirse un sentido o función lógica de verdad o falsedad.

Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquí consideramos únicamente el valor de Verdad o Falsedad.

Otro tipo de entes que se utilizan en computación que también está asociado a “dos” opciones, es lo que se conoce como expresiones booleanas. Estas expresiones, que deben su nombre a George Boole, se pueden ver caracterizadas como verdaderas ó falsas y de acuerdo a esta condición se desarrolla el estudio sobre dichos conceptos. Este tema se conoce como cálculo de proposiciones.

VALOR DE LA VERDAD DE UNA PROPOSICION

Valores de Verdad de Una Proposición

El valor de verdad de una proposición tiene por objetivo demostrar con que valor de verdad esta actuando una proposición. Este valor puede ser verdadero o falso dependiendo de la veracidad de dicha oración. Se simboliza de la siguiente manera tomando el siguiente significado.

? (P) = F o V "Significa el valor de verdad de la proposición P es igual a F o V"

NEGACIÓN DE UNA PROPOCISION

Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “ negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.
5Universidad de Cadiz Departamento de Matemáticas
La tabla de verdad de esta nueva proposici´on, ¬p, es:
p
V
F
¬p
F
V
De esta forma, el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor
verdadero de la af afirmación original.
Ejemplo 1.6 Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:
p1: El Pentium es un microprocesador.
p2: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.
p3: El Pentium no es un microprocesador.
p4: 2 + 2 = 5
p5: Es falso que 2 + 2 = 5
p6: 2 + 2 = 4
Soluci´on
X p2 y p3 son, cada una, la negaci´on de p1.
X p5 y p6 son, cada una, la negaci´on de p4.
Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negación, tendremos:
X p1 es verdad, luego p2 y p3 son falsas.
X p4 es falsa, luego p5 y p6 son verdad.
Ejemplo 1.7 Construir la tabla de verdad de la proposici´on ¬(p ∧ ¬q).
Soluci´on
p q ¬q p ∧ ¬q
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F
¬ (p ∧ ¬q)
V
F
V
V

PROPOCISIONES COMPUESTAS

Proposición Compuesta
Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposicion P , diremos que P
la es una proposición compuesta de p1, p2, . . . , pn.
Ejemplo 1.4 “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor”
es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida”
y “Mozart fue un gran compositor”.
“El es inteligente o estudia todos los días” es una proposición compuesta por dos proposiciones: “El es
inteligente” y “El estudia todos los d´ıas”.
Nota 1.2 La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad esta
completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con
la forma en que están conectadas.

CONECTIVOS LOGICOS

El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

LA CONJUNCION

Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’, o sus expresiones equivalentes como ‘e’, ‘pero’, ‘aunque’, ‘aun cuando’, ‘tanto... como...’, ‘sino’, ‘ni... ni‘, ‘sin embargo’, ‘además’, etc.

Ejemplos:

a) ‘El’ es un artículo y ‘de’ es una preposición.
b) El número dos es par, pero el número tres es impar.
c) Silvia es inteligente, sin embargo es floja.
d) Tanto el padre como el hijo son melómanos.

Una proposición conjuntiva es conmutativa, es decir, se puede permutar el orden de sus proposiciones componentes sin alterar la conjunción.

Una pseudoproposicion Conjuntiva se forma cuando la "Y" tiene carácter de término relacional y no propiamente de conjunción copulativa o conectiva.

Ejemplo:

a) Sansón y Dalila son hermanos.

LA DISYUNCION

Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyuntiva ‘o’, o sus expresiones equivalentes como ‘u’, ‘ya... ya’, ‘bien... bien’, ‘ora... ora’, ‘sea... sea’, ‘y/o’, etc.

En español la disyunción 'o' tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte.

La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente.
Ejemplo:
a) Roberto es profesor o es estudiante. (Puede ser los dos)

La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente.
Ejemplo:
b) Elena está viva o está muerta. (No puede ser los dos)

LA DISYUNCION EXCLUSIVA

Tabla de verdad de la Disyuncion Exclusiva

Una fórmula disyuntiva exclusiva es verdadera solo cuando sus variables son diferentes, en otro caso es falsa.

LA DISYUNCION INCLUSIVA

Tabla de verdad de la Disyuncion Inclusiva

La disyunción Inclusiva es verdadera en todos los casos menos cuando ambas son falsas.

LA IMPLICACION

Implicación 

Una fórmula ‘A’ implica a ‘B’ si y sólo si unidas en forma condicional,‘A’ como antecedente y ‘B’ como consecuente, su matriz resulta tautológica; si su matriz es consistente o contradictoria, se dice que ‘A’ no implica a ‘B’.

Ejemplo:

Si las matrices de las siguientes fórmulas son:

A: VVFF

B. VVVF

C: FFVV

D: FFFV

Determine, mediante la tabla de verdad, si:

1) “La conjunción de las negaciones de A y C implica a la negación

de la negación conjunta de B y D”.

Procedimiento:

a) Se expresa simbólicamente el enunciado.

b) Se evalúa la fórmula mediante la tabla de verdad.

c) Si su matriz es tautológica se dice que ‘A’ implica a ‘B’; si es consistente o contradictoria, se dice que ‘A’ no implica a ‘B’.

RESPUESTA: A implica B (A->B)

Otro ejemplo:

“El bicondicional de la negación de A y la disyunción débil de C

y D implica a la negación de la disyunción débil de B y la negación

de A”

RESPUESTA: A NO IMPLICA B

A CONTINUACIÓN UN EJEMPLO